Im Rahmen der digitalen Betriebsprüfungen werden vermehrt die Begriffe „Chi-Quadrat-Test“ und „Benford’s Law“ genannt.
Der nachfolgende Artikel soll einen kurzen Überblick über den Hintergrund und die Anwendungsmöglichkeiten des Prüfungsansatzes „Benford’s Law“ geben.
1. Grundsätzliches
Im Jahre 1881 stellte der amerikanische Mathematiker und Astronom Simon Newcomb in Logarithmentafeln fest, dass die Seiten unterschiedlich stark abgegriffen waren. Er erkannte, dass die Seiten mit den führenden Ziffern „1“ offenbar wesentlich häufiger als die mit der führenden Ziffer „9“ betrachtet wurden. Newcomb’s Erkenntnisse gerieten jedoch in Vergessenheit und wurden erst in den 1920er vom amerikanischen Physiker Frank Benford „wieder entdeckt“. Folgerichtig wird das Gesetz als „Newcomb-Benford's Law“ (NBL) bezeichnet.
Das Gesetz beschreibt die folgende Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der 1. Ziffer:
Ziffer | Wahrscheinlichkeit |
1 | 30,10% |
2 | 17,61% |
3 | 12,49% |
4 | 9,69% |
5 | 7,92% |
6 | 6,69% |
7 | 5,80% |
8 | 5,12% |
9 | 4,58% |
Diese Ziffernverteilung konnte in der Natur in den unterschiedlichsten Bereichen beobachtet werden, z.B. bei der Länge von Flüssen, Bevölkerungsdichte in Städten und (vielleicht) auch in den einzelnen Buchungen einer Finanzbuchhaltung.
Wichtig ist, dass dieses Gesetz nur auf empirischen Beobachtungen beruht, ein mathematischer Beweis seiner Gültigkeit ist nicht möglich. Darüber hinaus gilt diese Verteilung nur für nicht dimensionslose Zahlen (also nicht für Postleitzahlen oder Telefonnummern).
2. Benford’s Law in der Betriebsprüfung
Die steuerliche Relevanz des Benford’s Law ergibt sich aus einer Untersuchung des amerikanischen Mathematikers Mark Nigrini. Dieser stellte fest, dass auch die Zahlen in einer Steuererklärung der Benford Verteilung folgen. Als Ergebnis hieraus nutzen viele amerikanische Steuerbehörden (z.B. Kalifornien) Prüfroutinen auf Basis des Benford’s Law zur Entdeckung von Unregelmäßigkeiten in Steuererklärungen.
Wichtig ist, dass Benford’s Law nur eine Ziffernverteilung ist. Aus einer Abweichung von der nach Benford’s Gesetz erwarteten Verteilung können daher noch keine direkten Schlussfolgerungen ge-zogen werden.
In der (deutschen) steuerlichen Außenprüfung wird die Prüfung auf eine Verteilung nach dem Benford’s Gesetz zum Beispiel auf die Tageseinnahmen und den Wareneingang angewendet. Dabei werden typischerweise nur die ersten Ziffern des Betrages untersucht (im Gegensatz zum Chi-Quadrat-Test, der die letzten Ziffern untersucht). Hierbei wird die Vermutung zugrunde gelegt, dass jemand, der Zahlen verfälscht dabei regelmäßig auffällige Zahlenmuster produziert und nicht zwangsläufig der Gesetzmäßigkeit der Benford Verteilung folgt.
Einer Untersuchung des amerikanischen Mathematikers Theodor Hill zufolge, zeigen „ausgedachte“ Zahlen eine von der Benford Verteilung abweichende Verteilung mit einer Häufung im mittleren Be-reich. Die nachfolgende Tabelle zeigt die Unterschiede zwischen der Benford und Hill Verteilung:
Ziffer | Benford Verteilung | Hill Verteilung |
1 | 30,10% | 14,70% |
2 | 17,61% | 10,00% |
3 | 12,49% | 10,40% |
4 | 9,69% | 13,30% |
5 | 7,92% | 9,70% |
6 | 6,69% | 15,70% |
7 | 5,80% | 12,00% |
8 | 5,12% | 8,40% |
9 | 4,58% | 5,80% |
Stellt der Betriebsprüfer nun eine von der erwarteten Benford Verteilung abweichende Verteilung fest, die darüber hinaus ggfs. noch der Hill Verteilung ähnlich ist, sind weitere Prüfungsschritte erforderlich um eine mögliche Manipulation aufzudecken.
Eine Unregelmäßigkeit beim Test nach dem Benfords Law ist kein Beweis im juristischen Sinne und führt (noch) nicht zu Zuschätzungen im Rahmen der Betriebsprüfung. Als Maßstab für die Signifikanz der Abweichungen bietet sich der Chi-Quadrat Test an.
3. Weitere Einsatzbereiche
Neben der Betriebsprüfung wird die Verteilung nach dem Benford’s Law auch bei anderen Prüfungen verwendet, so wird insbesondere bei Verdacht der Unterschlagung die Ziffernverteilung nach Benford überprüft. Auch kann gezielt das Umgehen von Unterschriftsgrenzen geprüft werden.
Ansprechpartner bei KONLUS:
- Alexander Neu (Wirtschaftsprüfer, Steuerberater)
- Ingo Heuel (Rechtsanwalt, Steuerberater, Fachanwalt für Steuerrecht)#
- Dirk Beyer (Rechtsanwalt). Herr Beyer war früher Sachbegietsleiter für Betriebsprüfung und Steuerfahndung.
